چگونه مختصات بردار را به دست آوریم؟ ریاضی هفتم
پاسخ کوتاه: برای پیدا کردن مختصات بردار، مقدار حرکت افقی و عمودی را حساب میکنیم. اگر بردار از نقطه A(x1,y1) به نقطه B(x2,y2) باشد، مختصات آن (x2−x1 , y2−y1) است.
در ریاضی هفتم، بردار را میتوان مثل یک حرکت روی صفحه مختصات دید. وقتی از یک نقطه شروع میکنیم و به نقطه دیگر میرویم، باید ببینیم چند واحد به راست یا چپ و چند واحد به بالا یا پایین حرکت کردهایم. همین دو عدد، مختصات بردار را میسازند.
مختصات بردار معمولا به صورت یک زوج مرتب نوشته میشود: عدد اول برای حرکت افقی و عدد دوم برای حرکت عمودی. عدد افقی را مؤلفه x و عدد عمودی را مؤلفه y مینامیم.
فرمول مختصات بردار از دو نقطه
اگر ابتدای بردار نقطه A و انتهای آن نقطه B باشد، فرمول این است:
AB = (xB - xA , yB - yA)به زبان سادهتر: مختصات انتها را منهای مختصات ابتدا میکنیم. یعنی x انتها منهای x ابتدا، و y انتها منهای y ابتدا.
روش ساده برای دانشآموز هفتم
مثال اول: بردار از A(2,3) به B(5,7)
حل با فرمول
ابتدای بردار A(2,3) و انتهای بردار B(5,7) است. پس:
AB = (5 - 2 , 7 - 3) = (3 , 4)یعنی برای رفتن از A به B، سه واحد به راست و چهار واحد به بالا حرکت میکنیم. پس مختصات بردار برابر (3,4) است.
مثال دوم: بردار با حرکت به چپ و پایین
از C(6,5) به D(2,1)
اینجا انتهای بردار از نقطه شروع پایینتر و چپتر است. با فرمول داریم:
CD = (2 - 6 , 1 - 5) = (-4 , -4)پس بردار چهار واحد به چپ و چهار واحد به پایین حرکت کرده است. چون چپ و پایین هر دو منفیاند، جواب (-4,-4) میشود.
قانون علامتها در مختصات بردار
برای اینکه در علامتها اشتباه نکنید، این چهار حالت را به خاطر بسپارید:
اگر بردار فقط افقی باشد، مؤلفه y آن صفر است. اگر فقط عمودی باشد، مؤلفه x آن صفر است.
نکته کلیدی: ترتیب مهم است. برای بردار از A به B باید B منهای A را حساب کنیم. اگر اشتباهی A منهای B بگیریم، بردار قرینه و جهت آن برعکس میشود.
اگر بردار از مبدأ شروع شود چه؟
اگر بردار از مبدأ یعنی نقطه (0,0) شروع شود، مختصات بردار همان مختصات نقطه انتهایی است. مثلا اگر بردار از (0,0) به (4,2) برود، مختصات بردار (4,2) است.
(4 - 0 , 2 - 0) = (4 , 2)به همین دلیل در بعضی شکلها، وقتی بردار از مبدأ رسم شده، پیدا کردن مختصات آن سادهتر است.
اگر فقط شکل داشته باشیم چه کار کنیم؟
گاهی در سؤال، مختصات نقاط نوشته نشده و فقط شکل روی صفحه شطرنجی دیده میشود. در این حالت:
- ابتدای پیکان را پیدا کنید.
- از ابتدا تا انتها، خانههای افقی را بشمارید.
- سپس خانههای عمودی را بشمارید.
- جهت حرکت را با علامت مثبت یا منفی مشخص کنید.
مثلا اگر از ابتدای بردار تا نوک پیکان ۵ خانه به راست و ۲ خانه پایین برویم، مختصات بردار برابر (5,-2) است.
تفاوت مختصات نقطه و مختصات بردار
مختصات نقطه جای یک نقطه را روی صفحه نشان میدهد؛ اما مختصات بردار مقدار حرکت را نشان میدهد. مثلا نقطه (3,4) یعنی جایی که ۳ واحد از مبدأ به راست و ۴ واحد بالا است. اما بردار (3,4) یعنی حرکتی که ۳ واحد به راست و ۴ واحد به بالا میرود.
ممکن است یک بردار (3,4) از هر نقطهای شروع شود. اگر جهت و اندازه حرکت یکسان باشد، مختصات بردار هم همان است؛ حتی اگر جای آن روی صفحه عوض شود.
بردارهای مساوی چه مختصاتی دارند؟
دو بردار وقتی مساویاند که هم جهتشان یکی باشد و هم اندازه حرکتشان برابر باشد. یعنی مختصاتشان هم یکسان است. مثلا اگر یک بردار از (1,1) به (4,3) برود و بردار دیگر از (5,2) به (8,4)، هر دو مختصات (3,2) دارند.
(4 - 1 , 3 - 1) = (3 , 2) (8 - 5 , 4 - 2) = (3 , 2)پس مهم نیست بردار کجای صفحه رسم شده؛ مهم مقدار حرکت افقی و عمودی است.
اشتباهات رایج دانشآموزان
- جابجا نوشتن مؤلفهها: همیشه اول x و بعد y را بنویسید.
- فراموش کردن منفی: حرکت به چپ یا پایین منفی است.
- اشتباه گرفتن ابتدا و انتها: نوک پیکان انتهای بردار است، نه ابتدای آن.
- کم کردن برعکس: همیشه مختصات انتها را منهای مختصات ابتدا کنید.
- نوشتن مختصات نقطه به جای بردار: بردار حرکت است، نه فقط محل یک نقطه.
تمرین با جواب کوتاه
۱. از A(1,2) به B(6,5): جواب (5,3) است.
۲. از A(4,4) به B(1,7): جواب (-3,3) است.
۳. از A(-2,3) به B(2,1): جواب (4,-2) است.
۴. از A(5,-1) به B(5,4): جواب (0,5) است؛ چون حرکت افقی نداریم.
پاسخ آماده برای نوشتن در دفتر
برای به دست آوردن مختصات بردار، ابتدا مختصات نقطه شروع و نقطه پایان را مشخص میکنیم. سپس x نقطه پایان را از x نقطه شروع کم میکنیم و y نقطه پایان را از y نقطه شروع کم میکنیم. نتیجه به صورت (تغییر افقی، تغییر عمودی) نوشته میشود.
بردار = (x انتها - x ابتدا , y انتها - y ابتدا)جمعبندی
مختصات بردار یعنی مقدار جابهجایی افقی و عمودی. برای بردار از A به B، کافی است مختصات B را منهای مختصات A کنید: (xB−xA , yB−yA). اگر حرکت به راست یا بالا باشد عدد مثبت است و اگر به چپ یا پایین باشد عدد منفی میشود.
پرسشهای کوتاه
مختصات بردار چیست؟
دو عددی است که نشان میدهد بردار چند واحد افقی و چند واحد عمودی حرکت کرده است.
فرمول مختصات بردار از A به B چیست؟
فرمول آن (xB−xA , yB−yA) است.
اگر بردار به چپ برود چه علامتی دارد؟
مؤلفه x منفی میشود.
اگر بردار فقط عمودی باشد چه میشود؟
مؤلفه x صفر است و فقط مؤلفه y مقدار دارد.
نظرات