اثبات جبری اینکه حاصل جمع دو عدد فرد زوج است؛ پاسخ کامل

برای اثبات جبری این جمله که حاصل جمع دو عدد فرد عددی زوج است کافی است شکل کلی عدد فرد را بنویسیم و نشان دهیم مجموع دو عدد فرد، مضربی از ۲ می‌شود.

اثبات جبری مرحله به مرحله

فرض کنید دو عدد فرد دلخواه داریم. چون هر عدد فرد یک واحد بیشتر از یک عدد زوج است، می‌توان آن‌ها را این‌طور نوشت:

در اینجا m و n عددهای صحیح هستند. حالا دو عدد فرد را با هم جمع می‌کنیم:

عبارت m + n + 1 یک عدد صحیح است؛ چون جمع چند عدد صحیح باز هم عدد صحیح می‌شود. بنابراین 2(m + n + 1) مضربی از ۲ است و هر عددی که مضرب ۲ باشد، زوج است.

مثال ساده برای فهم بهتر

مثال فقط برای فهم بهتر است؛ اثبات اصلی همان اثبات جبری بالاست، چون درباره همه عددهای فرد صدق می‌کند، نه فقط یک نمونه خاص.

چرا شکل کلی عدد فرد 2k + 1 است؟

عدد زوج عددی است که بر ۲ بخش‌پذیر باشد؛ پس می‌توان آن را به شکل 2k نوشت. عدد فرد دقیقاً یک واحد بیشتر یا کمتر از یک عدد زوج است. به همین دلیل، یکی از شکل‌های رایج برای عدد فرد 2k + 1 است.

پاسخ آماده برای دفتر

اشتباه‌های رایج در نوشتن اثبات

• برای دو عدد فرد از دو متغیر جدا مثل m و n استفاده کنید تا نشان دهید عددها دلخواه‌اند.
• بعد از فاکتورگیری، حتماً توضیح دهید که داخل پرانتز عدد صحیح است.
• فقط مثال عددی ننویسید؛ مثال اثبات کامل برای همه حالت‌ها نیست.

در یک اثبات جبری خوب، هدف این است که حکم را برای همه عددهای فرد ثابت کنیم، نه فقط برای چند عدد انتخابی.