با توجه به اینکه مجموع دو زاویه متمم ۹۰ درجه است، اندازه زاویه کوچکتر ۴۰ درجه و اندازه زاویه بزرگتر ۵۰ درجه است.
مسائل مربوط به زوایای متمم و مکمل یکی از پایهایترین و در عین حال کاربردیترین مباحث هندسه در دوره اول متوسطه و اواخر دوره ابتدایی است. برای حل دقیق این گونه سوالات، نیاز است که دانشآموزان مفهوم نسبت و تناسب را با اصول هندسی ترکیب کنند. در ادامه این مطلب، پاسخ تشریحی و روشهای گوناگون حل این مسئله علمی را به زبان ساده بررسی میکنیم.
پاسخ تشریحی و گام به گام مسئله
برای حل هندسی و ریاضی این مسئله، ابتدا باید تعریف پایه متمم را در ذهن داشته باشیم. دو زاویه را متمم یکدیگر مینامند هرگاه مجموع اندازههای آنها دقیقاً برابر با ۹۰ درجه (معادل یک زاویه قائمه) شود. زمانی که صورت مسئله نسبت این دو زاویه را ۴ به ۵ اعلام میکند، به این معناست که کل فضا به بخشهای مساوی تقسیم شده است.
در روش حل جبری، این مراحل به صورت گام به گام طی میشوند تا ابهامی باقی نماند:
- تعریف متغیر مشترک: چون نسبت زاویهها ۴ به ۵ است، میتوانیم اندازه زاویه اول را 4x و اندازه زاویه دوم را 5x در نظر بگیریم. در اینجا x همان عامل یا ضریب تناسب نام دارد.
- تشکیل معادله ریاضی: با توجه به متمم بودن زوایا، مجموع آنها را برابر ۹۰ قرار میدهیم:
4x + 5x = 90 - سادهسازی و حل معادله: از جمع دو عبارت، رابطه 9x = 90 حاصل میشود. با تقسیم عدد ۹۰ بر ضریب ۹، مقدار x برابر با ۱۰ به دست میآید.
- محاسبه اندازه زاویه کوچکتر: با ضرب عدد ۴ در ضریب به دست آمده، مقدار زاویه اول مشخص میشود:
۴۰ = ۱۰ × ۴ درجه - محاسبه اندازه زاویه بزرگتر: با ضرب عدد ۵ در ضریب مشترک، مقدار زاویه دوم نیز معلوم میگردد:
۵۰ = ۱۰ × ۵ درجه
روشهای استاندارد کتابهای درسی برای حل تناسب زوایا
در نظام آموزشی و کتابهای ریاضی پایههای ششم و هفتم، راهکارهای متعددی برای تفهیم بهتر این مبحث به دانشآموزان ارائه شده است. این روشها به دانشآموز کمک میکنند تا بدون نیاز به دانش پیشرفته جبر و معادله، به پاسخ صحیح دست یابند.
۱. روش جدول تناسب سه ردیفی
این مدل رایجترین روش در مقطع ابتدایی است. جدولی با سه ردیف شامل «زاویه اول»، «زاویه دوم» و «مجموع» رسم میشود. در ستون مربوط به نسبتها، اعداد ۴ و ۵ قرار میگیرند و جمع آنها یعنی عدد ۹ در ردیف سوم نوشته میشود. در ستون بعدی که مربوط به اندازه واقعی زوایا به درجه است، در مقابل ردیف مجموع، عدد ۹۰ درج میشود. دانشآموز با مقایسه عدد ۹ و ۹۰ متوجه میشود که مقدار واقعی ۱۰ برابر شده است؛ بنابراین نسبتهای ۴ و ۵ نیز باید در ۱۰ ضرب شوند که حاصل ۴۰ و ۵۰ خواهد بود.
۲. روش تسهیم به نسبت (فرمول کلامی)
در این راهکار محاسباتی، مراحل زیر به ترتیب و بدون نیاز به رسم جدول انجام میشود:
۳. روش نمودار نواری (مدل خطی)
این روش برای دانشآموزانی که یادگیری دیداری دارند فوقالعاده است. یک نوار مستطیلی فرضی رسم شده و به ۹ قسمت کاملاً مساوی تقسیم میشود. ۴ قسمت از این نوار با یک رنگ مشخص نشاندهنده زاویه کوچکتر و ۵ قسمت دیگر با رنگی متفاوت نشاندهنده زاویه بزرگتر است. از آنجا که کل این نوار ۹ قسمتی نماینده ۹۰ درجه است، ارزش هر تکه یا مربع کوچک برابر با ۱۰ درجه خواهد بود. در نتیجه، بخش ۴ قسمتی برابر ۴۰ درجه و بخش ۵ قسمتی برابر ۵۰ درجه میشود.
نکته مهم: در تمامی مسائل مربوط به هندسه زاویهها، پس از به دست آوردن پاسخ نهایی، حتماً یک بار اعداد را با هم جمع کنید تا از صحت پاسخ مطمئن شوید. در این مسئله، ۴۰ به علاوه ۵۰ دقیقاً برابر با ۹۰ میشود که نشاندهنده درستی محاسبات است.
کاربردها و تفاوتهای کلیدی متمم و مکمل
یکی از اصلیترین دلایل اشتباه دانشآموزان در آزمونها، خلط مبحث میان دو مفهوم متمم و مکمل است. شناخت ریشه این کلمات به یادگیری پایدار آنها کمک شایانی میکند.
واژه متمم از ریشه «تمام» میآید؛ یعنی چیزی که ناقصیِ دیگری را کامل میکند تا به زاویه استاندارد قائمه برسد. در طرف مقابل، زوایای مکمل مجموع خطی برابر با ۱۸۰ درجه دارند که یک زاویه نیمصفحه را تشکیل میدهد. اگر در همین صورت مسئله، به جای واژه متمم از مکمل استفاده شده بود، روند حل تغییر میکرد؛ به طوری که مجموع سهمها (۹) باید برابر با ۱۸۰ قرار میگرفت و زوایای حاصل به ترتیب ۸۰ و ۱۰۰ درجه میشدند.
جمعبندی مبحث
جواب پیشنهادی: برای حل مسائل نسبتی زوایا، همیشه ابتدا به واژه متمم (۹۰ درجه) یا مکمل (۱۸۰ درجه) توجه کنید. سپس با جمع کردن نسبتها و تقسیم مجموع واقعی بر کل نسبتها، ضریب ثابت را پیدا کرده و در تکتک نسبتها ضرب کنید تا پاسخ نهایی حاصل شود.
نظرات